Se c’è una cosa peggiore di andare a lezione di matematica, forse, è andare dal dentista.
Il mio, devo ammetterlo, è molto bravo. Non mi fa mai sentire dolore, è gentile, lo studio è bello e pulito e soprattutto nella sala d’attesa ci sono le riviste della National Geographic Society, cosa che per un fotografo naturalista come me è molto apprezzata.

Un giorno mentre stavo sfogliando un interessante articolo sui deserti del nostro pianeta, lo udii parlottare con un’assistente circa la carie del 28, l’otturazione del 16 o una cosa del genere. Così, dato che una delle critiche rivolte alla malasanità si sintetizza spesso nello slogan “Siamo pazienti, non siamo solo numeri”, mi incuriosii e chiesi che numero avessi io.

Ebbi una sorpresa, mi stavo sbagliando. I numeri sopra citati non si riferivano a pazienti, ma ai denti! Così ho scoperto che i dentisti usano i numeri per identificare senza ambiguità i denti; se un paziente passasse da uno studio all’altro e il vecchio dentista dicesse al nuovo “Temo che dovrà estrarre il 12, in quanto non si può salvare più”, non ci dovrebbero essere ambiguità; altrimenti le conseguenze sono drammaticamente ovvie.
In termini un po’ più matematici, per così dire, la mappatura dei denti deve essere condivisa da tutti i dentisti del mondo, e così è, non preoccupatevi. A ogni dente corrisponde un numero (e uno solo) e vale anche il contrario: a ogni numero deve corrispondere un solo dente. Questa proprietà è quello che in matematica si chiama corrispondenza biunivoca tra gli elementi di due insiemi. Qualcuno la chiama anche corrispondenza one-to-one, e rende proprio bene l’idea che gli elementi si corrispondano uno a uno. Anche l’immagine seguente funziona: ogni freccia colpisce un solo bersaglio e ogni bersaglio è colpito da una sola freccia.

Così mi è venuto in mente che è un bell’esempio per spiegare in termini semplici e comprensibili parolacce matematiche come iniettività, surgettività (che non c’entra con i surgelati), codominio (che non c’entra con il condominio) e via così. Termini che sono alla base della moderna teoria degli insiemi e, senza aver capito bene cosa significano, purtroppo non si fa moltissima strada, almeno se si vuole approfondire un po’ questa potente teoria.

Freccette e matematica
Le freccette sono uno sport (anche se qualcuno non lo ritiene tale) molto popolare in Gran Bretagna. Nel classico pub inglese, oltre alle spille per la birra e alla tappezzeria a quadratoni non può mancare il tondo per le freccette (intorno al quale si assiepano avventori prodighi di improperi). Qualche tempo fa il governo inglese ha deciso che questo tipo di attività, oltre a fare bene alla mira, avrebbe fatto bene anche alla matematica e così ha invitato i giovani a esercitarsi in lanci precisi e conti altrettanto puntuali. Nelle partite si parte infatti da 501 e per vincere bisogna arrivare giusti a zero con un doppio tiro. Non solo: secondo una ricerca commissionata all’Università di Bath, il gioco richiederebbe anche conoscenze di geometria, algebra e fisica.

Supponiamo di avere sotto mano due insiemi, quello dei numeri naturali e quello dei nostri denti. Costruiamo quella che abbiamo chiamato prima mappatura, che in matematica si chiama corrispondenza (e in altri casi anche applicazione e funzione). In realtà qualcuno lo ha già fatto per noi e ha assegnato a ciascun dente un numero dando i primi numeri ai quattro quadranti in cui hanno diviso la bocca: arcata superiore e inferiore destra e sinistra. Per i denti invece, si parte dall’11 al 18 per l’arcata superiore destra, dal 21 al 28 per la sinistra, dal 31 al 38 per l’inferiore sinistra dal 41 al 48 per la destra. Ho anche saputo che esiste una diversa numerazione a seconda che si tratti di dentatura permanente oppure decidua; in questa si continua la numerazione ai 4 quadranti in senso orario da 51 a 58 a destra superiore; a sinistra superiore da 61 a 68 e inferiormente a sinistra da 71 a 78 e a destra inferiore da 81 a 88.

Abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca, che abbiamo visto essere necessaria per non sbagliare dente. In altri casi la corrispondenza potrebbe essere solo iniettiva, una condizione meno forte. L’iniettivittà avviene quando, invece di esserci una freccia per ogni bersaglio, potrebbe darsi che lo stesso bersaglio venga colpito da più di una freccia. Per esempio, prendendo l’insieme delle persone e delle città pensando alla corrispondenza geografica. Mentre più di una persona può trovarsi nella stessa città, è impossibile che la stessa persona si trovi contemporaneamente in due città diverse (a meno che non abbia il dono dell’ubiquità…).
Ci sono altri casi in cui, oltre al fatto che un bersaglio venga colpito da più di una freccia, può verificarsi un’altra evenienza: che dallo stesso arco partano più frecce che colpiscono differenti bersagli.
Un esempio potrebbe essere dato dall’insieme dei nomi e cognomi e dagli indirizzi. La corrispondenza questa volta riguarda il possesso di una casa. Ci potrebbero essere più persone che abitano la stessa casa ma anche l’opposto, cioè più case abitate da una sola persona (lasciate perdere l’ubiquità e pensate a un’eventualità più semplice: avete una casa in città e una al mare).
Un’altra caratteristica delle corrispondenze è la surgettività. Una corrispondenza si dice surgettiva se il suo codominio coincide con la sua immagine. In altre parole, se non rimane nessun bersaglio senza una freccia dentro. Una volta stabilito come è fatto l’insieme dei bersagli, nessuno di essi deve restare a bocca asciutta. Per esempio prendendo l’insieme dei numeri pari e l’insieme i cui elementi sono tutti i numeri formati con le cifre 2, 8 e 6. Comunque costruiremo il numero, esso finirà con una cifra pari, quindi è anch’esso pari, dunque tutti gli elementi/bersaglio verranno colpiti da una freccia.
Quando le due condizioni di sopra sussistono contemporaneamente, cioè quando una corrispondenza è allo stesso tempo iniettiva e surgettiva, allora è biunivoca (o bigettiva).
Non so se tutto ciò vi renderà più sicuri o più allegri la prossima volta che dovrete andare dal dentista; ma sono curioso di vedere cosa dirà il mio dentista, una volta letto questo piccolo riferimento alle corrispondenze in matematica. Secondo me non se lo aspettava.

Bourbaki, questo sconosciuto
Nicolas Bourbaki è lo pseudonimo con il quale – a partire dal 1935 e sostanzialmente fino al 1983 – un gruppo di matematici di altissimo profilo, quasi tutti francesi, ha scritto una serie di libri per l’esposizione sistematica di nozioni della matematica moderna avanzata. Con questa operazione scientifica il gruppo si è posto l’obiettivo di fondare l’intera matematica sulla teoria degli insiemi attraverso testi che fossero il più possibile rigorosi e generali. Nel corso di questa attività sono stati introdotti nuovi termini e nuovi concetti che hanno avuto una influenza complessivamente molto positiva.
Nicolas Bourbaki è un personaggio immaginario (il cognome è quello di un generale francese, Charles Denis Bourbaki), ma in più di un’occasione si è creduto che fosse una persona reale.

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